martes, 31 de mayo de 2016

Método de Cross


El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.



Una viga empotrada-empotrada, está sometida a un sistema de acciones. En ella se pueden considerar tres tramos. Los tramos primero y último, de acuerdo con el convenio, tienen flexión negativa, mientras que el tramo intermedio presenta flexión positiva. Los momentos flectores MA y MB en los apoyos serán negativos, así como los momentos del tramo intermedio son positivos. 

Por el principio de acción y reacción, la viga ejerce sobre los apoyos unos momentos y los apoyos sobre las vigas otros, que serán iguales y de sentido contrario. A estos momentos se les llama pares de empotramiento. Por tanto, los pares de empotramiento son las acciones que ejercen los apoyos sobre la pieza. Estos pares de empotramiento tienen el mismo valor absoluto que los momentos flectores MA y MB. Tomando el convenio de signos, el par en el apoyo A es positivo, mientras que el par en B es negativo. Como los momentos flectores en los apoyos son de signo negativo, para pasar de momentos flectores a pares de Bases del método de Cross 3 empotramiento basta cambiar de signo al de la izquierda y mantener el signo al de la derecha. De igual modo se opera para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores. 

En las piezas verticales se actúa de la misma forma. Como no hay establecido un signo de flexión, se define uno. Para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores, o a la inversa, se cambia de signo al valor de un extremo




EJEMPLO DE MÉTODO DE CROSS


Módulo de elasticidad

Módulo de elasticidad

Un hilo metálico sometido a un esfuerzo de tracción sufre una deformación que consiste en el aumento de longitud y en una contracción de su sección.
Supondremos que el aumento de longitud es el efecto dominante, sobre todo en hilos largos y de pequeña sección. Estudiaremos el comportamiento elástico de los hilos, aquél en el que existe una relación de proporcionalidad entre la fuerza F aplicada al hilo y el incremento DL de su longitud o bien, entre el esfuerzo F/S y la deformación unitaria DL/L0.



Donde S es la sección del hilo S=pi r2, y Y es una constante de proporcionalidad característica de cada material que se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young.
Metal
Módulo de Young, Y·1010 N/m2
Cobre estirado en frío
12.7
Cobre, fundición
8.2
Cobre laminado
10.8
Aluminio
6.3-7.0
Acero al carbono
19.5-20.5
Acero aleado
20.6
Acero, fundición
17.0
Cinc laminado
8.2
Latón estirado en frío
8.9-9.7
Latón naval laminado
9.8
Bronce de aluminio
10.3
Titanio
11.6
Níquel
20.4
Plata
8.27
                                                  Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.


Representando el esfuerzo en función de la deformación unitaria para un metal obtenemos una curva característica semejante a la que se muestra en la figura.
Durante la primera parte de la curva, el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, estamos en la región elástica. Cuando se disminuye el esfuerzo, el material vuelve a su longitud inicial. La línea recta termina en un punto denominado límite elástico.
Si se sigue aumentando el esfuerzo la deformación unitaria aumenta rápidamente, pero al reducir el esfuerzo, el material no recobra su longitud inicial. La longitud que corresponde a un esfuerzo nulo es ahora mayor que la inicial L0, y se dice que el material ha adquirido una deformación permanente.
El material se deforma hasta un máximo, denominado punto de ruptura. Entre el límite de la deformación elástica y el punto de ruptura tiene lugar la deformación plástica.
Si entre el límite de la región elástica y el punto de ruptura tiene lugar una gran deformación plástica el material se denomina dúctil. Sin embargo, si la ruptura ocurre poco después del límite elástico el material se denomina frágil.

Henry Bessemer

Bessemer, Sir Henry (1813-1898)  Inventor británico, nacido en Charlton, Hertfordshire, y autodidacta, en gran medida. Fue un inventor prolífico, pero se le conoce sobre todo por sus innovaciones en la siderurgia que elevaron enormemente la producción anual de acero en Inglaterra, consiguiendo un acero de gran calidad, disponible a un costo muy reducido.
El convertidor de Bessemer permitió la obtención de acero barato y, con él, la construcción de obras de ingeniería asombrosas para la época.
A los 20 años, Bessemer diseñó un procedimiento que evitaba las falsificaciones de los sellos impresos en los documentos oficiales que fue adoptado por la Casa del Timbre.
Patentó más de 117 inventos: entre ellos, un dispositivo para la obtención de caracteres tipográficos, un nuevo tipo de proyectil, frenos para ferrocarriles, máquinas para la industria del vidrio.
Diseñó una máquina para la fabricación de polvo de bronce destinado al revestimiento de superficies con efectos de oro, que invadió el mercado y fue empleado en toda Inglaterra para la decoración.
Anunció los detalles del método. Los industriales siderúrgicos invirtieron fortunas en altos hornos para manufacturar acero por el nuevo sistema, pero el producto resultó de ínfima calidad y Bessemer perdió prestigio y credibilidad.
Volvió a los experimentos para perfeccionar su método. Como ya no creían en él, instaló sus propias acerías en Sheffield, Inglaterra. Importó mineral sin fósforo de Suecia y vendió acero de alta calidad a un costo muy inferior al de sus competidores.
Durante más de dos mil años, el hombre había utilizado el hierro como el metal común más duro y resistente que conocía. Se obtenía calentando mineral de hierro con coque y caliza. El producto resultante contenía gran cantidad de carbono (del coque) y recibía el nombre de «hierro fundido» o «fundición». Era barato y duro, pero también quebradizo; bastaba un golpe fuerte para partirlo.
El carbono era posible eliminarlo del hierro fundido a base de mezclarlo con más mineral de hierro. El oxígeno del mineral se combinaba con el carbono del hierro fundido y formaba monóxido de carbono gaseoso, que se desprendía en burbujas y ardía. Atrás quedaba el hierro casi puro, procedente del mineral y del hierro fundido: es lo que se llamaba «hierro forjado» o «hierro pudelado». Esta forma del hierro era resistente y aguantaba golpes fuertes sin partirse. Pero era bastante blando y además caro.
El acero podía hacerse más fuerte que el arrabio y más duro que el hierro forjado, combinando así las virtudes de ambos. Antes de Bessemer, había que convertir primero el arrabio en hierro forjado y añadir después los ingredientes precisos para conseguir el acero. Si el hierro forjado era ya caro, el acero lo era el doble. Metal bastante escaso, se utilizaba principalmente para fabricar espadas.
La tarea que se propuso Bessemer fue la de eliminar el carbono del arrabio a precios moderados. Pensó que el modo más barato y fácil de añadir oxígeno al hierro fundido para quemar el carbono era utilizar un chorro de aire en lugar de añadir mineral de hierro.
Bessemer empezó a experimentar y no tardó en demostrar que el chorro de aire cumplía su propósito. El aire quemaba el carbono y la mayor parte de las demás impurezas, y el calor de la combustión aumentaba la temperatura del hierro. Controlando el chorro de aire, Bessemer consiguió fabricar acero a un coste bastante inferior al de los anteriores métodos.
Convertidor de Bessemer.

El principal invento fue el convertidor de Bessemer, que permitió que este metal se produjera con una mayor calidad y también que fuera más barato. Su inventor fue Henry Bessemer, un ingeniero inglés del S.XIX. (Nos llama mucho la atención que vivió nada más y nada menos que ¡¡85 AÑOS!!
Este aparato lo que hace es convertir el arrabio (lo que obtenemos al reducir el mineral de hierro, tiene un alto porcentaje de carbono) ya procesado,.
Su funcionamiento consiste en una caldera forrada de acero en cuyo interior se encuentra un revestimiento de un material refractario (tiene una gran resistencia al calor y al fuego). La parte superior está abierta, mientras que la parte de abajo es redonda y se mueve gracias a un eje horizontal. Tiene dos agujeros a través de los cuales introducen el aire.
Se sitúa sobre dos soportes, que hacen que la caldera se pueda mover y girarse, para introducir la función y posteriormente colar el acero.
Para cargar el convertidor, se lo inclina, y luego se vierte el arrabio derretido por la abertura que se halla en la parte superior. A continuación, se suelta el aire, el cual pasa a través de la masa de hierro derretido. Sólo cuando la corriente de aire alcanza su máxima intensidad, se vuelve a poner el convertidor en posición vertical. De otro modo, el metal derretido taparía los agujeros del fondo, evitando que el aire entrara en el horno.
Cuando éste se encuentra en pleno funcionamiento, lanza al aire chispas brillantes, un denso humo de color pardo, y llamas de color rojo oscuro. Después de algunos minutos, las llamas crecen y se tornan más brillantes, lo cual indica que se está quemando el carbono. Al cabo de unos 15 minutos, las llamas desaparecen con rapidez, y todas las impurezas quedan eliminadas.

Luego, se vuelve a inclinar el convertidor y se cierra el paso del aire. Esta acción debe efectuarse en el momento preciso. Si se procede prematuramente, quedan algunas impurezas en el metal, y si, por el contrario, se retarda la operación, se quema el metal, quedando inutilizado. A continuación se añaden los elementos necesarios, tales como carbono y manganeso, y se obtiene así el producto final.


lunes, 30 de mayo de 2016

Cinemática del cuerpo rígido

Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.

Definiciones Básicas: 
Rotacion pura: Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.
Traslación pura: En física, la traslación es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación.
Posición angular: La posicion angular se puede definir como la ubicacion de la particula o cuerpo en cuestion con respecto al punto origen o eje de rotacion de un sistema circular.
Velocidad angular: La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos.
(2 π [radianes] = 360°)

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s]. 


Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s].

Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

Aceleración angular: Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.
Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.
La aceleración angular, al igual que la aceleración lineal, tiene dos componentes: la tangencial y la normal
La velocidad de un punto dentro de un cuerpo rigido, en funcion de la velocidad angular esta dada por:
V=Ωr , donde Ω es la velocidad angular y r la distancia radial del eje de rotacion al punto del cuerpo.
Vectorialmente, la relacion se da por medio de la ecuación:
V=ΩXr , expresandolo en el producto vectorial usual.
Al comprender estos conceptos, se puede comprender el siguiente paso que es la cinetica del cuerpo rigido, que ya involucra fuerzas que generan movimiento angular y plano general.

Cinemática de las partículas

La cinemática estudia el movimiento sin importar que lo provoca. Al cuerpo en movimiento se le denomina “partícula” o cuerpo puntiforme, de tal forma que éste solo se puede mover, no se rompe ni se deforma. 

Posición

- Una partícula se mueve cuando cambia de posición, respecto de un punto fijo o sistema de referencia. Así mismo, una partícula está en reposo cuando no cambia de posición respecto de la referencia.
- El sistema de referencia o punto fijo, es el lugar desde donde se observa el movimiento o reposo.
- El sistema más ocupado es el de ejes cartesianos, compuesto por tres ejes, como se muestra en la figura:

ejes
Trayectoria y Distancia Recorrida
- Trayectoria: Curva descrita por la partícula cuando se mueve. Las trayectorias pueden ser rectas o curvas.
Distancia recorrida (s): Es la medida de la trayectoria.
trayectoria

 formula1
Desplazamiento
- Diferencia entre 2 vectores posición de la partícula.
desplazamiento

- El vector desplazamiento está dado por la ecuación:
formula2
- Cabe recordar que el desplazamiento es independiente al sistema de referencia.

Rapidez

- Rapidez Media: Cuociente entre la distancia recorrida y el tiempo en que demora en recorrer esta distancia.
rapidezmedia
- Está dada por la siguiente ecuación:
formula3
Velocidad
- Velocidad Media: Cuociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado en el respectivo desplazamiento.
velocidad
- La Velocidad Media está descrita por la siguiente ecuación:
formula 4
Aceleración
- La aceleración se produce cuando la velocidad cambia su magnitud, dirección o sentido.
- Así por ejemplo, algunos elementos aceleradores en un auto serían:
        - El manubrio: cambiando la dirección.
        - El freno: Disminuyendo la magnitud de la velocidad.
        - El acelerador: Aumentando la magnitud de la velocidad.
        - La reversa: Cambiando el sentido.

- Aceleración Media: Cuociente entre la diferencia  de 2 velocidades instantáneas y el intervalo de tiempo en que estas se producen.
aceleracion
- Está dada por la ecuación:
formula5

Diferencia Entre Cinemática y Cinética

La cinemática, es un área de estudio de la mecánica que 
describe el movimiento en función del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. 

Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la 
mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y 
el tiempo, considerando los agentes presentes que lo 
producen.

En cinemática es de gran importancia definir un referencial, 
el cual es un marco de referencia, cuya característica 
principal es la de no estar acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial.


Cinética


CINÉTICA

. La cinética comprende una rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos en el espacio, independientemente de las causas que lo producen. Por lo tanto se encarga del estudio de la trayectoria en función del tiempo. En el estudio de la cinemática los primeros en describir el movimiento fueron los astrónomos y filósofos griegos, los primeros escritos de la cinemática lo encontramos hacia los años 1605 donde se menciona a Galileo Galilei por su reconocido estudio del movimiento de caída libre y esfera de planos inclinados. Después de varios siglos este concepto fue ampliado por una serie de físicos hasta desarrollarse y adquirir una estructura propia.


- ELEMENTOS DE LA CINÉTICA

Observador: Es también llamado marco de referencia y tiene como objetivo medir el movimiento que traza una partícula.
Posición: Corresponde al espacio geométrico que ocupa un cuerpo u objeto en el espacio.
Trayectoria: Es una representación de la línea que une todas las posiciones tomadas por el cuerpo. Se puede clasificar en curvilíneas y rectilíneas.
Tiempo: Es el que indica la duración del movimiento de un cuerpo.
Rapidez y Velocidad: es la rapidez en la que cambia de posición un móvil.

- TIPOS DE MOVIMIENTOS EN LA CINÉTICA

Movimiento rectilíneo uniforme: son aquellos donde la trayectoria se hace en linea recta y la posición del punto móvil queda determinada por una sola coordenada. La velocidad permanece constante y no hay una alteración de la aceleración (a) en el transcurso del tiempo.
Movimiento rectilíneo uniforme acelerado: Este movimiento es de aceleración constante y la velocidad varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo.
Movimiento armónico simple: El cuerpo u objeto oscila de un lado a otro, esto se debe a una posición de equilibrio en una dirección determinada, es importante saber que los movimientos se realizan en intervalos de tiempo iguales.
Movimiento circular: El sistema de referencia se encuentra en el centro de la trayectoria circular.
Movimiento parabólico: Son dos movimientos rectilíneos distintos uno horizontal y otro vertical.